การประลองปริภูมิสถานะระหว่างตารางแบนราบที่เต็มไปด้วยเลขสอง กับลูกบาศก์ที่สร้างขึ้นจากเลขสามล้วน ๆ
เขียนและเรียบเรียงเป็นภาษาอังกฤษ ฉบับภาษาไทยนี้จัดทำขึ้นด้วยการแปลด้วยเครื่อง ในจุดที่ความแม่นยำมีความสำคัญ ให้ถือต้นฉบับภาษาอังกฤษเป็นหลัก อ่านต้นฉบับภาษาอังกฤษ →
ทั้งสองเกมเป็นปริศนาเลื่อนตัวเลข ใน 2048 คุณดันตารางขนาด 4×4 ที่มีสิบหกช่องไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่งจากสี่ทิศ ไทล์ที่มีค่าเท่ากันจะชนกันแล้วเพิ่มเป็นสองเท่า ไต่ขึ้นไปตามกำลังของสอง ใน 3927 คุณดันลูกบาศก์ขนาด 3×3×3 ที่มียี่สิบเจ็ดช่องไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่งจากหกทิศ บล็อกที่มีค่าเท่ากันสามก้อนจะชนกันแล้วเพิ่มเป็นสามเท่า ไต่ขึ้นไปตามกำลังของสาม คือ 3, 9, 27 ซึ่งก็คือตัวเลขในชื่อเกมนั่นเอง 1 การถามว่าเกมไหนยากกว่า แท้จริงแล้วก็คือการถามว่าเกมไหนซ่อนมหาสมุทรแห่งตำแหน่งที่เป็นไปได้ที่ใหญ่กว่า เช่นนั้นเรามาลองวัดปริมาณน้ำกันดู
ขนาดดิบของกระดานเติบโตตาม (จำนวนสัญลักษณ์ต่อช่อง)cells จำนวนช่องอยู่ในตำแหน่งเลขชี้กำลัง ซึ่งเป็นที่ที่อำนาจการทวีคูณทั้งหมดอยู่ 2048 มีสิบหกช่อง ส่วน 3927 มียี่สิบเจ็ดช่อง หากตรึงชุดสัญลักษณ์ต่อช่องไว้คงที่ ลูกบาศก์ก็ใหญ่กว่าอยู่แล้วราว a27−16 = a11 เท่า และหากชุดสัญลักษณ์มีสิบตัว ลำพังแค่นี้ก็มีสถานะมากกว่าถึงหนึ่งแสนล้านเท่า ก่อนที่เราจะนับปัจจัยอื่นใดเสียอีก มิติที่เพิ่มขึ้น ไม่ใช่เลขคณิตฐานสาม คือกลไกขับเคลื่อนที่แท้จริง
แต่ละช่องจะว่างเปล่าหรือไม่ก็บรรจุค่าไทล์หนึ่งค่า สำหรับ 2048 ที่จำกัดไว้ที่ไทล์ 256 ช่องหนึ่งจะแสดงสัญลักษณ์ได้หนึ่งในเก้าแบบ คือช่องว่าง บวกกับ {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256} ขอบเขตบนที่ตีพิมพ์แล้วซึ่งสร้างจากชุดสัญลักษณ์นี้พอดีระบุว่ากระดาน 4×4 มีตำแหน่งราว 5.63 × 1014 ตำแหน่ง และผู้เขียนก็ยอมรับตรง ๆ ว่าเพดานนี้รวมกระดานที่ผิดกติกาซึ่งไม่มีวันเกิดขึ้นได้จริงไว้ด้วย 2 หากให้ 3927 มีความลึกในระดับเทียบเคียงกัน คือช่องว่าง บวกกับ {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187} รวมแปดสัญลักษณ์ เพดานดิบของมันจะเท่ากับ 827 ≈ 2.4 × 1024 ฐานสามทำให้ 3927 มีสัญลักษณ์ต่อช่องน้อยกว่าที่ฐานสองจะให้ แต่สิบเอ็ดช่องที่เพิ่มขึ้นมาก็คืนท้องฟ้าทั้งผืนกลับให้มัน
หากเลื่อนบันไดค่าไทล์ให้ลึกลงไปอีกเล็กน้อย เพดานของ 3927 ก็จะแซงหน้าของ 2048 ไปราวหนึ่งพันล้านถึงหนึ่งแสนล้านเท่า ลูกบาศก์ชนะด้วยเลขชี้กำลัง
ยังไม่มีใครแจกแจงสถานะที่ไปถึงได้ของ 2048 ขนาดเต็มได้ครบ ไม่ต้องพูดถึง 3927 เลย แต่นักวิจัยได้แก้กระดาน 2048 ขนาดย่อส่วนอย่างถี่ถ้วนครบทุกกรณีแล้ว และตัวเลขที่แน่ชัดเหล่านั้นก็เป็นหลักยึดให้การประมาณของเรา กระดาน 2048 ขนาด 3×3 มีสถานะที่ไปถึงได้ 48,713,519 สถานะ ขยายเป็น 4×3 แล้วจำนวนก็กระโดดไปเกินล้านล้าน คือ 1,152,817,492,752 สถานะ โดยมีตำแหน่งหลังการเดินที่แตกต่างกัน 739,648,886,170 ตำแหน่ง 3 ทุกช่องที่เพิ่มขึ้นทวีคูณโลกทั้งใบ หากลากเส้นโค้งนั้นต่อไปจนถึง 27 ช่อง ก็ไม่มีตารางที่ซื่อตรงใดจะพิมพ์ตัวเลขออกมาได้แม้แต่ตัวเดียว
| คุณสมบัติ | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| กระดาน | แบนราบ 4×4 | ลูกบาศก์ 3×3×3 |
| จำนวนช่อง | 16 | 27 |
| ฐานของเลข | 2 | 3 |
| กฎการรวม | เหมือนกัน 2 ตัว → เพิ่มเป็นสองเท่า | เหมือนกัน 3 ตัว → เพิ่มเป็นสามเท่า |
| ทิศทางการเลื่อน | 4 | 6 |
| สัญลักษณ์ / ช่อง (ที่ความลึกเทียบเท่ากัน) | 9 | 8 |
| เพดานดิบ (รวมกระดานผิดกติกา) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| ขอบเขตบนที่ปรับละเอียดแล้วจากงานที่อ้างอิง | 5.63 × 10¹⁴ | ยังไม่มีการตีพิมพ์ |
| จำนวนแน่ชัด กระดานย่อย 4×3 | 1.15 × 10¹² | , |
ตัวเลขใหญ่ทุกตัวในที่นี้เป็นขอบเขตบนหรือค่าประมาณระดับอันดับขนาด ไม่เคยเป็นการสำรวจนับจริง เพดานเหล่านี้นับรวมกระดานที่การเล่นตามกติกาไม่มีวันไปถึง เช่น กระดานที่มีไทล์เพียงตัวเดียวโดดเดี่ยว (ทั้งสองเกมเริ่มด้วยไทล์สองตัว และเพิ่มไทล์ใหม่หนึ่งตัวหลังการเดินทุกครั้ง จึงไม่มีกระดานใดเหลือไทล์เพียงตัวเดียว) หรือค่าที่ไม่มีลำดับการรวมใดสร้างขึ้นมาได้ ตัวเลขของ 2048 มาจากงานวิจัยที่ผ่านการประเมินโดยผู้ทรงคุณวุฒิ ส่วนตัวเลขของ 3927 เป็นเพดานที่ฉันคำนวณคร่าว ๆ เอง ด้วยวิธีเดียวกัน และควรอ่านว่า “ไม่มากกว่านี้ และน่าจะน้อยกว่ามาก” กฎของทั้งสองเกมวัดจากเอกสารการออกแบบของเกม ไม่ได้สันนิษฐานเอาเอง
ขนาดของปริภูมิสถานะคือแผนที่ ส่วนตัวประกอบการแตกกิ่งคือความเร็วที่คุณเดินข้ามมัน ในแต่ละเทิร์นผู้เล่นเลือกทิศทางหนึ่ง ได้สูงสุดสี่ทิศใน 2048 และสูงสุดหกทิศใน 3927 ลูกบาศก์จึงให้ทางเลือกที่แท้จริงต่อการเดินหนึ่งครั้งมากกว่าห้าสิบเปอร์เซ็นต์ จากนั้นโชคก็เข้ามาแทรก เกมจะวางไทล์ใหม่ลงในช่องว่างช่องหนึ่งแบบสุ่ม 2048 สร้างเลข 2 หรือ 4 คือราวสองผลลัพธ์ต่อช่องว่างหนึ่งช่อง จากช่องว่างได้มากถึงสิบห้าช่อง ส่วน 3927 สร้างเลข 3 เพียงตัวเดียวเสมอ แต่ลงในช่องว่างได้มากถึงยี่สิบหกช่อง 1 เมื่อคูณการตัดสินใจเข้ากับโชค ต้นไม้เกมของ 3927 ก็แผ่กว้างกว่าในทุกชั้น และเนื่องจากการรวมสามก้อนเกิดขึ้นได้ยากกว่าการรวมสองก้อน การเล่นแต่ละรอบของมันจึงมักยาวนานกว่า ทำให้ต้นไม้ทั้งลึกขึ้นและกว้างขึ้น
คำว่า “ยากกว่า” สำหรับมนุษย์เป็นเรื่องของความรู้สึก และ 2048 ก็ไม่ใช่ของหมู การตัดสินว่าตำแหน่งใด ๆ จะไปถึงไทล์เป้าหมายได้หรือไม่นั้นพิสูจน์ได้ว่าเป็นปัญหา NP-hard บนกระดานทั่วไป 4 แต่ในฐานะวัตถุเชิงการจัด 3927 คือสัตว์ที่ตัวใหญ่กว่าด้วยช่องว่างที่กว้างและซื่อตรง มีช่องมากกว่าในเลขชี้กำลัง มีทิศทางมากกว่าในการแตกกิ่ง และมีเกมที่ยาวกว่าในด้านความลึก เลขคณิตฐานสามที่ให้ชื่อแก่เกมนี้แทบจะเป็นแค่เรื่องหลอกล่อให้หลงทาง ความยากไม่เคยอยู่ที่เลขสาม มันอยู่ที่มิติที่สาม
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.