ประสิทธิภาพที่ซ่อนอยู่ของเลขฐานสาม และคำถามว่าเกมที่สร้างบนฐานนี้เป็นเครื่องจักรที่สง่างามกว่าอย่างเงียบ ๆ หรือไม่
เขียนและเรียบเรียงเป็นภาษาอังกฤษ ฉบับภาษาไทยนี้จัดทำขึ้นด้วยการแปลด้วยเครื่อง ในจุดที่ความแม่นยำมีความสำคัญ ให้ถือต้นฉบับภาษาอังกฤษเป็นหลัก อ่านต้นฉบับภาษาอังกฤษ →
3927 คือ 2048 ที่ถูกสร้างขึ้นใหม่ในสามมิติและในเลขคณิตคนละแบบ กระดานเป็นลูกบาศก์ 3×3×3 ที่มียี่สิบเจ็ดช่อง และคุณดันลูกบาศก์ทั้งลูกไปตามทิศทางใดก็ได้จากหกทิศ เมื่อไทล์ที่มีค่าเท่ากันสามตัวชนกัน มันไม่ได้เพิ่มเป็นสองเท่า แต่เพิ่มเป็นสามเท่า สามกลายเป็นเก้า เก้ากลายเป็นยี่สิบเจ็ด และต่อไปเรื่อย ๆ คือ 81, 243, 729 ชื่อของเกมเองก็นับไทล์สามตัวแรกขึ้นไป คือ 3·9·27 และทุกอย่างในการออกแบบก็เป็นเลขสามไปจนสุดทาง สามช่องต่อแกน สามตัวต่อการรวม และสามเป็นตัวคูณการเติบโต 4
บรรพบุรุษของมันยึดมั่นกับระบบเลขฐานสองอย่างดื้อรั้น 2048 ดั้งเดิมใช้กำลังของสอง คือ 2, 4, 8, 16… และรวมไทล์ทีละคู่ สองคือตัวเลขของการโยนเหรียญ ของทรานซิสเตอร์ และของบิต ดังนั้นคำถามที่ผู้เล่นช่างสงสัยย่อมถามคือ การเปลี่ยนสองเป็นสามเป็นแค่ความแปลกใหม่ หรือว่าสามซ่อนข้อได้เปรียบที่แท้จริงไว้มาตลอด ปรากฏว่าคณิตศาสตร์มีความเห็นในเรื่องนี้ และเป็นความเห็นที่หนักแน่นอย่างน่าประหลาดใจ
ลองนึกภาพว่าคุณต้องสร้างเครื่องจักรที่เก็บตัวเลข ตำแหน่งหลักแต่ละตำแหน่งมีต้นทุน ไม่ว่าจะเป็นวงล้อ สายไฟ หรือหลอดสุญญากาศ และต้นทุนนั้นเพิ่มขึ้นตามฐาน เพราะหลักในฐาน b ต้องมีสถานะที่แยกแยะได้ b แบบ แต่ฐานที่ใหญ่กว่าก็หมายความว่าคุณต้องใช้หลักน้อยกว่าในการแทนตัวเลขใด ๆ ตรงนี้มีความตึงเครียดอยู่ และมันมีชื่อเรียกว่า ความประหยัดของฐาน (radix economy)
ในเชิงรูปนัย ความประหยัดของการแทนจำนวน N ในฐาน b คือฐานคูณด้วยจำนวนหลัก E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋ 1 ฐานใหญ่ให้ตัวเลขที่สั้นแต่หลักมีราคาแพง ฐานเล็กมีราคาถูกต่อหลักแต่ยืดยาวเกะกะ ระหว่างสองขั้วนี้มีจุดที่ลงตัวที่สุดอยู่ และมันไม่ใช่จุดที่เทคโนโลยีส่วนใหญ่ของเราเลือกใช้
| ฐาน | b ÷ ln b | เทียบกับค่าเหมาะสมที่สุด |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | ค่าเหมาะสมที่สุด |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
สำหรับ N ขนาดใหญ่ ความประหยัดจะมีพฤติกรรมเหมือน (b ÷ ln b) · ln N ดังนั้นประสิทธิภาพของฐานจึงขึ้นอยู่กับตัวประกอบ b ÷ ln b ทั้งหมด หาค่าต่ำสุดของมันด้วยแคลคูลัสเล็กน้อย แล้วคำตอบที่ได้ก็แม่นยำและแปลกประหลาด ฐานที่ประหยัดที่สุดคือ e ซึ่งมีค่าราว 2.71828 1 แน่นอนว่าคุณสร้างคอมพิวเตอร์ที่มี 2.718 สถานะต่อหลักไม่ได้ แต่คุณถามได้ว่าจำนวนเต็มใดอยู่ใกล้อุดมคตินั้นที่สุด และผู้ชนะซึ่งเอาชนะทั้งสองและสิบได้ ก็คือสาม
ช่องว่างนี้ไม่ใช่แค่เรื่องทางวิชาการ ฐานสามอยู่ห่างจากค่าเหมาะสมที่สุดทางทฤษฎีไม่ถึงครึ่งเปอร์เซ็นต์ ขณะที่ฐานสองต้องจ่ายส่วนเพิ่มหกเปอร์เซ็นต์ และฐานสิบต้องจ่ายถึงหกสิบเปอร์เซ็นต์อย่างหนักหนา วิธีที่จับต้องได้ในการรู้สึกถึงมันคือ การเขียนทุกจำนวนตั้งแต่ 0 ถึง 999,999 ฐานสองต้องใช้ 20 หลัก ฐานสิบต้องใช้ 6 หลัก แต่ฐานสามต้องใช้เพียง 13 หลัก และ 13×3 ได้ผลรวมน้อยกว่า 20×2 1 สามบรรจุการนับไว้ได้มากกว่าในโครงสร้างที่น้อยกว่าอย่างแท้จริง
ธรรมชาติถูกขอให้บอกวิธีนับที่มีประสิทธิภาพที่สุด และมันตอบด้วยจำนวนอตรรกยะ จำนวนเต็มที่ใกล้คำตอบนั้นที่สุดคือสาม
นี่ไม่ใช่แค่เรื่องน่าแปลกในตำรา ในปี 1958 ที่มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก ทีมที่นำโดย Nikolay Brusentsov และนักคณิตศาสตร์ Sergei Sobolev ได้สร้าง Setun คอมพิวเตอร์ฐานสามที่มีชื่อเสียงที่สุดเท่าที่เคยสร้างมา 3 ในขณะที่โลกตะวันตกกำลังทุ่มเทให้กับบิต Setun นับเป็นทริต (trit) และใช้รูปแบบที่งดงามเป็นพิเศษ คือระบบฐานสามสมดุล (balanced ternary) ซึ่งค่าของหลักทั้งสามไม่ใช่ 0, 1, 2 แต่เป็น −1, 0, +1 2
ความสมมาตรนี้ให้ผลตอบแทนทันที จำนวนหนึ่งพกเครื่องหมายของตัวเองมาด้วย ไม่ต้องมีบิตเครื่องหมายแยก ไม่ต้องบิดตัวกับระบบส่วนเติมเต็มสอง และการกลับเครื่องหมายของค่าใด ๆ ก็ทำได้เพียงพลิกทุกหลัก การปัดเศษและการตัดทศนิยมกลายเป็นการดำเนินการเดียวกัน Donald Knuth ตัดสินว่ามัน “อาจเป็นระบบตัวเลขที่งดงามที่สุดในบรรดาทั้งหมด” 2 Brusentsov ซึ่งไม่มีทรานซิสเตอร์ใช้ ได้เค้นสถานะที่เสถียรสามแบบออกมาจากแกนเฟอร์ไรต์ที่จับคู่กัน มีการสร้าง Setun ราวห้าสิบเครื่อง ส่วนใหญ่ถูกส่งไปใช้สอนคณิตศาสตร์ตามมหาวิทยาลัยต่าง ๆ ทั่วสหภาพโซเวียต 3 เครื่องจักรนี้ใช้งานได้จริง ราคาถูก และล้ำหน้าเพื่อนร่วมสมัยอยู่อย่างเงียบ ๆ
ตรงนี้เองที่ผู้เขียนที่รอบคอบต้องห้ามใจตัวเอง ความประหยัดของฐานเป็นข้อกล่าวอ้างเกี่ยวกับการเก็บและประมวลผลตัวเลขภายใต้สมมติฐานด้านต้นทุนที่เฉพาะเจาะจง และแม้แต่นักคณิตศาสตร์ก็ยังชี้ว่าสมมติฐานเหล่านั้นเป็นเพียงการประมาณ การคิดบัญชีที่ครบถ้วนกว่ามักพิสูจน์ความชอบธรรมของฐานสองได้อีกครั้ง ซึ่งเป็นเหตุที่โลกทำงานบนฐานสอง 1 ปริศนารวมเลขไม่ใช่คลังหน่วยความจำ ไม่มีใครมานั่งลดจำนวนหลอดสุญญากาศระหว่างพักดื่มกาแฟ ดังนั้น 3927 จึงไม่ได้ “มีประสิทธิภาพกว่า” ในความหมายเชิงวิศวกรรมที่มีน้ำหนักใด ๆ และการพูดเช่นนั้นก็คงเป็นการโกง
แต่ถึงกระนั้น เกมนี้ก็ได้รับมรดกบางอย่างที่เป็นความจริงมา การเติบโตแบบสามเท่าไปถึงตัวเลขใหญ่ได้ด้วยการเดินที่น้อยกว่าแต่มีผลมากกว่า การรวมแต่ละครั้งทำงานได้มากกว่า และลูกบาศก์ 3×3×3 คือกระดานที่เล็กที่สุดที่ปล่อยให้การหลอมรวมสามทางได้หายใจในทุกทิศทาง 4 การออกแบบไม่ได้บังเอิญสะดุดเจอเลขสาม มันลงเอยที่จำนวนเต็มที่คณิตศาสตร์ของการนับชื่นชอบอย่างเงียบ ๆ มาตั้งแต่รุ่งอรุณของการคำนวณด้วยอิเล็กทรอนิกส์ จำนวนเดียวกับที่วิศวกรของ Setun จงใจเลือก สองคือจำนวนที่เราใช้เป็นค่าตั้งต้นโดยไม่ได้คิด สามคือจำนวนที่เราน่าจะเลือก หากประสิทธิภาพ ไม่ใช่การโยนเหรียญ เป็นผู้ตัดสินขั้นสุดท้าย การที่ไทล์บังเอิญสะกดเป็น 3, 9, 27 เป็นเพียงมุกตลกเล็ก ๆ ที่จักรวาลเล่าอยู่แล้ว
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.