กระดานรายวันกว้างเจ็ดไทล์และสูงเจ็ดไทล์ ดูเล็ก แต่พอคุณลองนับว่ามันหมุนได้กี่แบบ ตัวเลขนั้นก็ไม่ดูเล็กอีกต่อไปเลย
เขียนและเรียบเรียงเป็นภาษาอังกฤษ ฉบับภาษาไทยนี้จัดทำขึ้นด้วยการแปลด้วยเครื่อง ในจุดที่ความแม่นยำมีความสำคัญ ให้ถือต้นฉบับภาษาอังกฤษเป็นหลัก อ่านต้นฉบับภาษาอังกฤษ →
ไทล์ทุกแผ่นใน Conduit มีทิศทางการวางที่เป็นไปได้สี่แบบ คือหมุนจากตำแหน่งเดิมไปศูนย์ หนึ่ง สอง หรือสามครั้ง ครั้งละหนึ่งในสี่รอบ 1 หากให้แต่ละช่องในสี่สิบเก้าช่องของตารางรายวันเลือกได้อย่างอิสระจากสี่แบบนั้น จำนวนสถานะกระดานที่แตกต่างกันจะเท่ากับ 449 เขียนออกมาเต็ม ๆ คือ 316,912,650,057,057,350,374,175,801,344 หรือกว่าสามร้อยออกทิลเลียนรูปแบบ ซึ่งเกมขอให้คุณหาเพียงหนึ่งรูปแบบที่สว่างครบทุกไทล์และไม่มีจุดรั่ว
การสุ่มสลับที่ส่งปริศนามาให้คุณจะเลือกจำนวนครั้งของการหมุนหนึ่งในสี่รอบแบบสุ่มตั้งแต่ศูนย์ถึงสามครั้งให้กับไทล์แต่ละแผ่น 1 ดังนั้นกระดานที่คุณพบจึงถูกสุ่มมาอย่างสม่ำเสมอจากปริภูมิมหึมานั้น หักออกเพียงกรณีเดียวที่เกมตั้งใจกันไว้เพื่อไม่ให้แจกตารางที่ถูกแก้เสร็จอยู่แล้วมาให้คุณ 1 การไล่ลองทุกกรณีแบบ brute force เป็นเรื่องที่ตัดทิ้งได้เลย ชุดทดสอบของเกมเองระบุว่าการลองการหมุนทั้งสี่แบบของไทล์ทุกแผ่นนั้นมีขนาดเป็นเลขชี้กำลัง และมีการรันการค้นหาแบบถี่ถ้วนเฉพาะกับกระดานของเล่นที่มีเก้าช่องหรือน้อยกว่าเท่านั้น 2
ตัวเลขพาดหัวนั้นนับเกินจริง เพราะไทล์บางแผ่นไม่สนใจว่าคุณจะหมุนมันอย่างไร ท่อกากบาท (cross) ที่มีตัวเชื่อมต่อครบทั้งสี่ด้าน ดูเหมือนกันทุกประการในทั้งสี่ทิศทาง หมุนไปก็ไม่มีอะไรเปลี่ยน ท่อตรง (line) มีหน้าตาที่ต่างกันเพียงสองแบบ คือแนวนอนกับแนวตั้ง เพราะการหมุนครึ่งรอบทำให้มันกลับมาเป็นตัวเองพอดี มีเพียงรูปทรงที่ไม่สมมาตรเท่านั้น คือท่อข้องอ (elbow) ท่อสามทาง (tee) และท่อปลายตันที่มีตัวเชื่อมต่อเพียงด้านเดียว (end) ที่มีทิศทางการวางแตกต่างกันครบทั้งสี่แบบอย่างแท้จริง 3
| รูปทรง | ตัวเชื่อมต่อ | การหมุนที่แตกต่างกัน | สมมาตร |
|---|---|---|---|
| ท่อปลายตัน (โหนด/หลอดไฟ) | 1 | 4 | ไม่มี |
| ท่อตรง | 2 | 2 | ครึ่งรอบ |
| ท่อข้องอ | 2 | 4 | ไม่มี |
| ท่อสามทาง | 3 | 4 | ไม่มี |
| ท่อกากบาท | 4 | 1 | ครบทุกรอบ |
ชื่อรูปทรงเหล่านี้ระบุไว้ในบันทึกการออกแบบของเกม ส่วนจำนวนทิศทางที่แตกต่างกันนั้นเป็นผลมาจากการที่มาสก์ตัวเชื่อมต่อขนาดสี่บิตไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนตามที่ระบุไว้ 3 ปริภูมิการค้นหาที่แท้จริงจึงเล็กกว่า 449 อยู่เท่ากับผลคูณของสมมาตรรายไทล์เหล่านี้พอดี แต่บนกระดานใดก็ตามที่มีท่อข้องอและท่อสามทางผสมกันอยู่พอสมควร มันก็ยังใหญ่ในระดับดาราศาสตร์อยู่ดี
ลองพลิกคำถามดู ลืมเรื่องทิศทางที่คุณอาจลองหมุนไปก่อน แล้วถามว่ากระดานที่แก้เสร็จแล้วนั้นเป็นไปได้กี่แบบตั้งแต่แรก ตาราง Conduit ที่เสร็จสมบูรณ์คือชุดท่อที่เชื่อมถึงกันทั้งหมด พลังงานไปถึงทุกไทล์ และไม่มีวงรอบที่สูญเปล่า เพราะสิ่งที่ตัวสร้างปริศนาสร้างขึ้นก็คือต้นไม้แผ่ทั่ว (spanning tree) ซึ่งเชื่อมถึงกัน ไม่มีวัฏจักร และมีเส้นทางเดียวจากแหล่งกำเนิดไปยังแต่ละโหนด 3 การเดินสายแต่ละแบบเช่นนี้ก็คือต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟตารางนั่นเอง โดยที่จุดยอดคือช่องต่าง ๆ และเส้นเชื่อมคือขอบร่วมที่ท่อสามารถพาดข้ามได้
และต้นไม้แผ่ทั่วนั้นนับจำนวนได้อย่างแม่นยำ ทฤษฎีบทเมทริกซ์-ต้นไม้ของเคียร์ชฮอฟฟ์ ซึ่งเป็นผลลัพธ์จากปี 1847 กล่าวว่าจำนวนต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟใด ๆ เท่ากับโคแฟกเตอร์ตัวใดก็ได้ของเมทริกซ์ลาปลาเซียนของกราฟนั้น ซึ่งเป็นดีเทอร์มิแนนต์ที่คำนวณได้ในเวลาพหุนาม 4 สำหรับตาราง จำนวนนี้ระเบิดขึ้นตามขนาด แลตทิซ 4×4 ที่ดูธรรมดาก็มีต้นไม้แผ่ทั่วถึง 100,352 แบบแล้ว และตัวเลขก็พุ่งขึ้นอย่างดุเดือดจากตรงนั้น ทุกแบบในจำนวนนี้ล้วนเป็นคำตอบของ Conduit ที่ถูกต้องและสว่างครบทุกไทล์ ปริศนานี้ยากไม่ใช่เพราะคำตอบมีน้อย แต่เพราะคำตอบซ่อนอยู่ในฝูงชนที่ใหญ่กว่ามากของสิ่งที่เกือบจะเป็นคำตอบ
สถานะที่แก้เสร็จแล้วนับได้และมีมากมาย ส่วนสถานะที่ถูกสลับนั้นนับได้และมีมากกว่าอย่างมหาศาล การแก้ปริศนาจึงเป็นการค้นหาเข็มที่คุณรู้ว่ามีอยู่จริง เพราะเกมตั้งใจซ่อนมันไว้ตรงนั้น
คุณอาจหวังว่าปริศนาจะแยกส่วนได้ คือจัดการมุมซ้ายบนก่อน ต่อด้วยไทล์ข้าง ๆ แล้วเดินหน้าไปอย่างเป็นระเบียบจนถึงมุมไกลสุด บางครั้งกระดานบางช่วงก็ยอมให้ทำเช่นนั้นได้จริง ไทล์ที่มุมมีขอบเพียงสองด้านที่แตะกับเพื่อนบ้าน ตัวเชื่อมต่อของมันจึงถูกจำกัดอย่างมาก ส่วนท่อปลายตันที่อยู่ริมขอบก็ชี้เข้าด้านในได้เท่านั้น การเดินที่ถูกบังคับเหล่านี้ให้ที่ยึดเหนี่ยวแก่คุณ
แต่เงื่อนไขชนะทั้งสองข้อไม่ได้ต่อกันเป็นลูกโซ่อย่างว่าง่ายเช่นนั้น ไม่มีจุดรั่วเป็นคุณสมบัติเฉพาะที่ คุณตรวจสอบได้ทีละขอบ แต่มีพลังงานไม่ใช่เช่นนั้น ไทล์แผ่นหนึ่งจะสว่างหรือไม่ขึ้นอยู่กับสายโซ่ของรอยต่อที่ไม่ขาดตอนซึ่งทอดยาวกลับไปถึงแหล่งกำเนิด และอาจพาดผ่านทั้งกระดานก็ได้ 3 การเปลี่ยนแปลงที่คุณทำในมุมหนึ่งอาจทำให้พื้นที่ห่างไกลดับมืดลงได้ เพราะไปตัดเส้นทางเดียวที่หล่อเลี้ยงมันอยู่ การผูกโยงเช่นนี้ ที่ชะตาของไทล์ทุกแผ่นอาจผูกอยู่กับเส้นทางที่วิ่งผ่านทั้งตาราง คือสิ่งที่ทำให้ปริศนาหมุนไม่ยุบตัวลงเป็นแค่งานจดบัญชีง่าย ๆ และเป็นเหตุผลว่าทำไมโปรแกรมแก้ปริศนาสำหรับตระกูล Net/Pipes (ปริศนาต่อท่อแบบหมุน) ในวงกว้างจึงพึ่งพาการแพร่กระจายข้อจำกัดและการค้นหา มากกว่าการกวาดจากซ้ายไปขวาแบบง่าย ๆ 5
แม้ปริภูมิสถานะจะกว้างใหญ่เพียงใด ปริมาณที่ Conduit ใช้ให้คะแนนคุณกลับเล็กจิ๋วและเป็นเรื่องของมนุษย์ นั่นคือคุณแตะไปกี่ครั้ง คะแนนคือ 1000 − 4 × จำนวนการเดิน − 2 × จำนวนวินาที โดยต่ำสุดอยู่ที่ศูนย์ 3 กระดานแต่ละกระดานมีจำนวนการหมุนขั้นต่ำตามทฤษฎีอยู่ นั่นคือผลรวมของจำนวนการหมุนหนึ่งในสี่รอบที่น้อยที่สุดซึ่งต้องใช้เพื่อไปถึงทิศทางที่แก้เสร็จแล้วของไทล์ทุกแผ่น และการหมุนที่สูญเปล่าทุกครั้งที่เกินจากนั้นทำให้คุณเสียสี่คะแนน ส่วนวินาทีที่ปล่อยเปล่าแต่ละวินาทีเสียสองคะแนน
เกมที่แท้จริงจึงอยู่ระหว่างข้อเท็จจริงมหึมาสองข้อกับข้อเล็ก ๆ อีกหนึ่งข้อ กองฟางกว้าง 449 ทิศทาง เข็มคือต้นไม้แผ่ทั่วจำนวนมากของตาราง และหน้าที่ของคุณคือเดินทางจากฝั่งหนึ่งไปอีกฝั่งด้วยการเดินเพียงแบบเดียวที่กฎอนุญาต ให้น้อยครั้งที่สุดเท่าที่จะทำได้ คณิตศาสตร์เชิงการจัดรับประกันว่ามีคำตอบอยู่ในนั้น ส่วนระบบคะแนนก็ท้าคุณอย่างเงียบ ๆ ให้หามันเจอโดยไม่หลงทาง 4