หมากรุกคือมาตรฐานที่เราใช้วัดความลึก ทางเลือกด้านการออกแบบเล็ก ๆ ข้อหนึ่งทำให้ WordChess มีปริภูมิของเกมที่เป็นไปได้ใหญ่กว่ามาก
เขียนและเรียบเรียงเป็นภาษาอังกฤษ ฉบับภาษาไทยนี้จัดทำขึ้นด้วยการแปลด้วยเครื่อง ในจุดที่ความแม่นยำมีความสำคัญ ให้ถือต้นฉบับภาษาอังกฤษเป็นหลัก อ่านต้นฉบับภาษาอังกฤษ →
ในปี 1950 Claude Shannon บิดาแห่งทฤษฎีสารสนเทศ ประมาณว่าเกมหมากรุกที่แตกต่างกันเป็นไปได้กี่เกม คำตอบของเขาคือราว 10120 ซึ่งกลายเป็นจำนวนของ Shannon (Shannon number) และเป็นหลักยึดของสัญชาตญาณเรานับแต่นั้นมา 1 มันเป็นตัวเลขที่ใหญ่จนเอกภพทางกายภาพต้องอาย เพราะเอกภพมีอะตอมเพียงราว 1080 อะตอม 6 ต่อให้คุณมอบกระดานหมากรุกให้อะตอมทุกตัว ก็ยังมีกระดานไม่พอจะเล่นทุกเกมให้จบ
หมากรุกได้ตัวเลขนี้มาอย่างสมศักดิ์ศรี ในตาเปิด ฝ่ายขาวมีตาเดิน 20 ตา ฝ่ายดำตอบได้ 20 ตา และหลังการเดินแลกกันเพียงครั้งเดียวก็มีตำแหน่งถึง 400 แบบแล้ว เมื่อเดินไปแล้วหกครั้ง (นับแยกทีละฝ่าย) จำนวนนี้ทะลุ 119 ล้าน และเมื่อถึงครั้งที่สิบก็แตะ 69 ล้านล้าน 4 ผู้เล่นเรียกสิ่งนี้ว่าตัวประกอบการแตกกิ่ง (branching factor) คือจำนวนทางเลือกที่ถูกกติกาในแต่ละตา ในหมากรุกค่าเฉลี่ยอยู่ราว 35 2 ตัวเลขเจียมตัวนี้ เมื่อทบต้นไปทีละตา คือเครื่องยนต์แห่งความลึกลับของเกม ตลอดยี่สิบตาแรกมันให้กำเนิดเกมในหลัก 1060 ที่มาของความลึกของหมากรุกไม่ใช่ตัวหมาก แต่คือการแตกกิ่ง
จำนวนตาเดินช่วงต้นของหมากรุกเป็นที่รู้กันอย่างแม่นยำ ของ WordChess เป็นค่าประมาณ แต่สองเกมนี้แยกทางกันเร็วมากจนช่องว่างเห็นได้ชัดภายในตาเดียว 4
| หลังตาที่ | หมากรุก ค่าแม่นยำ 4 | WordChess ค่าประมาณ 7 |
|---|---|---|
| 1 | 400 | ~1012 |
| 2 | 197,281 | ~1018 |
| 3 | 119,060,324 | ~1024 |
| 4 | 84,998,978,956 | ~1030 |
| 5 | 69,352,859,712,417 | ~1036 |
ตัวเลขของหมากรุกเป็นผลนับการสร้างตาเดินแบบแม่นยำ (perft) 4 ตัวเลขของ WordChess สมมติว่ามีตำแหน่งวางคำที่ถูกกติการาวหนึ่งล้านแบบในตาแรกของผู้เล่นแต่ละคน (จึงได้ราว 1012 หลังทั้งสองฝ่ายเดินแล้ว) และราวหนึ่งพันแบบอย่างระมัดระวังในทุกตาหลังจากนั้น ดูหมายเหตุวิธีการ
WordChess ดูเหมือนญาติที่อ่อนโยนกว่า เป็นเกมคำศัพท์บนตาราง ใกล้เคียงกับปริศนาอักษรไขว้มากกว่าการต่อสู้ด้วยมีด ความประทับใจนั้นผิดโดยสิ้นเชิง และกติกาเพียงบรรทัดเดียวคือเหตุผล ผู้เล่นทุกคนถือชุดไทล์ครบหนึ่งร้อยแผ่น 7
ไม่มีแรคเจ็ดไทล์ ไม่มีโชคจากการจั่ว ไม่ต้องรอสระ ในตาใดก็ตาม ผู้เล่นสามารถหยิบคำใดก็ได้แทบทั้งหมดจาก 148,941 คำในพจนานุกรม ซึ่งมีคำยาวถึงยี่สิบห้าตัวอักษร เท่ากับความกว้างของกระดาน แล้วมองหาที่วางมัน 7 Scrabble ถูกบีบด้วยไทล์สุ่มเจ็ดแผ่น จึงสร้างคำได้จากสิ่งที่บังเอิญอยู่ในแรคเท่านั้น 5 WordChess กำจัดคอขวดนั้นออกไปทั้งหมด
ผลที่ตามมารุนแรงมาก ตาแรกสุดเปิดทางให้ตำแหน่งวางที่ถูกกติการาวหนึ่งถึงสองล้านแบบ คือคำหนึ่งคำ ทิศทางหนึ่ง และจุดหนึ่งบนกระดาน 25×25 ที่เปิดโล่ง เมื่อผู้เล่นทั้งสองเดินไปเพียงครั้งเดียว เกมก็แตกกิ่งเป็นตำแหน่งราวหนึ่งล้านล้านแบบ หมากรุกหลังการแลกตาเดินแบบเดียวกันมีสี่ร้อย 4
กติกาเรียบง่ายกว่า แต่ปริภูมิของความเป็นไปได้ไม่ได้เรียบง่ายตาม
แต่ละขั้นที่ทำเครื่องหมายไว้สูงกว่าขั้นที่อยู่ข้างล่างสี่สิบอันดับขนาด หรือ 1040 เท่า บนสเกลนี้ ยี่สิบตาแรกของ WordChess ไต่ผ่านจำนวนอะตอมในเอกภพไปอย่างสบาย และไปหยุดตรงจุดที่หมากรุกทั้งเกมอยู่พอดี 1
เมื่อกระดานเริ่มเต็ม ตัวประกอบการแตกกิ่งของหมากรุกค่อย ๆ ขยับขึ้นไปราว 35 และคงอยู่ตรงนั้น ส่วนของ WordChess ยังอยู่ในหลักพัน คำทุกคำที่เล่นไปแล้วกลายเป็นจุดยึดใหม่ให้ต่อคำ และชุดไทล์ที่ครบชุดก็หมายความว่าข้อจำกัดจริงเพียงอย่างเดียวคือจุดตัดที่พจนานุกรมยอมรับ 7
ลองคำนวณไปข้างหน้า ต่อให้ทุกตา รวมถึงตาเปิดเกมที่มีทางเลือกมากมาย มีตาเดินถูกกติกาเพียงหนึ่งพันแบบซึ่งเป็นค่าที่จงใจตั้งไว้อย่างระมัดระวัง WordChess ก็จะแตะ 10120 ซึ่งคือจำนวนของ Shannon หรือความซับซ้อนของหมากรุกทั้งเกม ภายในยี่สิบตาแรก หากยอมให้มีตาเดินหนึ่งหมื่นแบบต่อตา ซึ่งยังสมเหตุสมผล ยี่สิบตาจะไต่ขึ้นไปใกล้ 10160 คือห่างจาก 1060 ของหมากรุกหกสิบถึงหนึ่งร้อยอันดับขนาด 1
ลดค่าประมาณลงจนสมมติว่าผู้เล่นหาตาเดินที่ถูกกติกาได้เพียงสามร้อยแบบต่อตา ซึ่งเป็นเพียงเศษเสี้ยวของจำนวนจริง ยี่สิบตาก็ยังให้ 1099 ยังเหนือกว่าหมากรุกถึงสี่สิบอันดับขนาด ข้อสรุปนี้รอดพ้นทุกสมมติฐานเชิงมองโลกในแง่ร้ายที่คุณจะยื่นให้ 1
ตัวเลขของหมากรุกเป็นผลจากการคำนวณอย่างถี่ถ้วนนับทศวรรษ มันเป็นสิ่งที่รู้แน่ ส่วนของ WordChess เป็นค่าประมาณอย่างรอบคอบ ซึ่งอิงจากพารามิเตอร์จริงของเกม ได้แก่ กระดาน 25×25 พจนานุกรม 148,941 คำ และชุดไทล์ครบ 100 แผ่นในมือผู้เล่นทุกคน และมีช่วงความคลาดเคลื่อนกว้าง สิ่งที่ไม่มีข้อสงสัยคือทิศทางและขนาดของช่องว่าง ทุกสมมติฐานในบทความนี้ถูกเลือกมาอย่างระมัดระวัง และช่องว่างก็ยังคงมหาศาล
หมากรุกจำกัดคุณ ม้าเดินอย่างม้า เบี้ยคืบไปทีละช่อง และทางเลือกของคุณแม้จะมากมาย ก็มีจำกัดและคุ้นเคย WordChess มอบภาษาทั้งภาษาและกระดานทั้งกระดานให้คุณ แล้วขอให้คุณเลือก นั่นคือการแลกเปลี่ยนที่การออกแบบเลือกทำ และเป็นเหตุผลที่ตารางหน้าตาเป็นมิตรนี้ซ่อนมหาสมุทรแห่งการจัดหมู่ไว้
ทั้งหมดนี้ไม่ได้พิสูจน์ว่า WordChess เล่นให้เก่งได้ยากกว่า ปริภูมิการค้นหาที่ใหญ่กว่าไม่ใช่สิ่งเดียวกับกลยุทธ์ที่ลึกกว่า และความอัจฉริยะของหมากรุกคือการที่มันบีบความหมายออกมาได้มากมายจากการแตกกิ่งอันแคบของมัน แต่ใครก็ตามที่คิดว่าเกมคำศัพท์เป็นตัวเลือกที่เบากว่า เข้าใจคณิตศาสตร์กลับหัวกลับหางอย่างสิ้นเชิง ตลอดยี่สิบตาแรก WordChess ทำให้เกมอันยิ่งใหญ่ของเหล่ากษัตริย์ดูเกือบจะเล็กไปเลย
Method. "20 moves" means 20 by each player, 40 half-moves, the chess convention. Chess: game count ≈ b40 with b ≈ 30–35 → ~1060. WordChess: opening branching estimated from (playable words that fit through the centre) × (placements per word) ≈ 106 per side; later turns held at a conservative 103–104. The 20-move figures deliberately apply that later-turn b to all 40 half-moves, openings included: b40 ≈ 10120–10160, a floor; counting the two ~106 opening turns adds about six more orders of magnitude (≈10126–10166). The 1099 floor uses b = 300 throughout. These are estimates, not proofs; see "A note on certainty."