หมากรุก คือมาตรฐานของเราสำหรับความลึก การออกแบบอย่างเงียบ ๆ ทำให้ WordChess ลึกยิ่งขึ้น
ในปี 1950 Claude Shannonบิดาแห่ง ทฤษฎีสารสนเทศ, ได้ประมาณการว่าเกมหมากรุกที่แตกต่างกันมีได้กี่รูปแบบคำตอบของเขา ซึ่งโดยประมาณ 10120ได้กลายเป็น เลขของ Shannonและมันได้ยึดโยงความเข้าใจของเราตั้งแต่นั้นมา1 มันเป็นตัวเลขที่มหาศาลจนทำให้จักรวาลทางกายภาพต้องอับอาย ซึ่งจักรวาลมีเพียง ประมาณ 1080 อะตอม.6 คุณอาจมอบกระดานหมากรุกให้แต่ละอะตอมหนึ่งกระดาน แต่ยังคงมีกระดานไม่เพียงพอที่จะเล่นจบทุกเกมได้
หมากรุกได้รับสิ่งนี้มาอย่างซื่อสัตย์ ตั้งแต่เปิดเกม ขาวมี 20 เดิน; ดำตอบกลับด้วย 20 และก็มี 400 ตำแหน่งแล้วหลังจากการแลกเปลี่ยนเพียงครั้งเดียว เมื่อผ่านไปหกครึ่งเดิน ตัวเลขก็ผ่าน 119 ล้าน; เมื่อถึงเดินที่สิบ มัน แตะ 69 ล้านล้าน.4 ผู้เล่นเรียกสิ่งนี้ว่า ปัจจัยการแตกแขนงซึ่งคือจำนวนทางเลือกที่ถูกต้องตามกฎหมายในแต่ละตา ในหมากรุกมัน เฉลี่ยประมาณ 35.2 ตัวเลขที่ดูเล็กน้อยนั้น เมื่อสะสมซ้ำแล้วซ้ำเล่าจากเดินหนึ่งไปอีกเดินหนึ่ง คือเครื่องยนต์ของความลึกลับของเกม ตลอดยี่สิบเดินแรก มันผลิตเกมออกมาในลำดับของ 1060 เกม แหล่งที่มาของความลึกของหมากรุกไม่ใช่ตัวหมาก แต่คือการแตกแขนง
จำนวนการเดินในขั้นต้นของเกมหมากรุกนั้นทราบค่าที่แน่นอน ส่วนของ WordChess เป็นค่าประมาณ แต่ทั้งสองเกมแยกออกจากกันอย่างรวดเร็วจนช่องว่างเห็นได้ชัดภายในหนึ่งตาเดิน4
| หลังการเดิน | หมากรุก, ค่าแน่นอน 4 | WordChess, ค่าประมาณ 7 |
|---|---|---|
| 1 | 400 | ~1012 |
| 2 | 197,281 | ~1018 |
| 3 | 119,060,324 | ~1024 |
| 4 | 84,998,978,956 | ~1030 |
| 5 | 69,352,859,712,417 | ~1036 |
ตัวเลขของหมากรุกเป็นจำนวนการสร้างการเดินที่แน่นอน (perft).4 ตัวเลขของ WordChess สมมติว่ามีตำแหน่งเปิดที่ถูกต้องตามกฎหมายประมาณหนึ่งล้านตำแหน่งต่อฝ่าย และประมาณหนึ่งพันตำแหน่งหลังจากนั้น ดู หมายเหตุวิธีการ.
WordChess ดูเหมือนจะเป็นญาติที่อ่อนโยนกว่า เป็นเกมคำบนตาราง ใกล้กับคำไขปริศนา มากกว่าการต่อสู้ด้วยมีด ความประทับใจนั้นผิดอย่างสิ้นเชิง และบรรทัดเดียวในกฎคือเหตุผล: ผู้เล่นทุกคนถือพูลของตัวอักษร 100 ตัวทั้งหมด7
ไม่มีถาด 7 ตัวอักษร ไม่มีดวงในการจับ ไม่มีรอตัวอักษรสระ ในตาเดินใด ๆ ผู้เล่นสามารถเอื้อมไปหาคำ 148,941 ในพจนานุกรมได้เกือบทุกคำ คำยาวได้ถึงยี่สิบห้าตัวอักษร และมองหาที่วางมัน7 Scrabble, ซึ่งถูกจำกัดด้วยตัวอักษรสุ่ม 7 ตัว เสนอปัจจัยการแตกแขนงประมาณ 35, ซึ่งใกล้เคียงกับหมากรุก5 WordChess ขจัดคอขวดนั้นออกไปอย่างสิ้นเชิง
ผลลัพธ์คือความรุนแรงอย่างยิ่ง การเดินตัวแรกเปิดไปสู่จำนวนที่อยู่ที่ระหว่าง หนึ่งถึงสองล้าน การวางที่ถูกต้องตามกฎหมาย ซึ่งประกอบด้วยคำ ทิศทาง และตำแหน่งบนกระดานขนาด 25×25 ที่เปิดกว้าง เมื่อทั้งสองฝ่ายเดินแล้ว ครั้งเดียวเกมก็แตกแขนงออกเป็นตำแหน่งต่าง ๆ ประมาณ ล้านล้าน ตำแหน่ง ส่วนหมากรุกหลังการแลกเปลี่ยนเดียวกันมีเพียงสี่ร้อยตำแหน่ง3
กฎกติกาเรียบง่ายกว่า แต่พื้นที่แห่งความเป็นไปได้นั้นไม่ใช่
แต่ละขั้นสูงเป็นสิบเท่าของขั้นที่อยู่ด้านล่าง ในสเกลนี้ การเดินยี่สิบแรกของ WordChess ไต่ขึ้นจนผ่านจำนวนอะตอมในจักรวาลไปอย่างชัดเจน และลงจอดตรงจุดที่เกม หมากรุก ทั้งเกมตั้งอยู่1
เมื่อกระดานเริ่มเต็ม ปัจจัยการแตกแขนงของหมากรุกจะค่อยๆ เพิ่มขึ้นสู่ 35 และคงที่ไว้ WordChess ยังคงอยู่ในระดับหลักพัน ทุกคำที่เคยเล่นไปแล้วกลายเป็นจุดยึดใหม่ให้เกาะเกี่ยว และคลังตัวอักษรทั้งหมดหมายความว่าข้อจำกัดเดียวที่แท้จริงคือจุดตัดใดบ้างที่พจนานุกรมอนุญาต7
ลองคำนวณไปข้างหน้า ที่จำนวนการเดินที่ถูกต้องตามกฎหมาย 1,000 ครั้งต่อตาอย่างระมัดระวัง WordChess จะไปถึง 10120, จำนวนของเชนนอน ความซับซ้อนของ เกม หมากรุกทั้งเกม ภายใน ยี่สิบเดินแรก. อนุญาตให้ 10,000 ครั้งต่อตา ซึ่งยังสมเหตุสมผล และยี่สิบเดินจะขยับเข้าใกล้ 10160: ช่องว่าง 40 ถึง 100 ลำดับขนาดเมื่อเทียบกับหมากรุก 1060.1
ลดค่าประมาณลงจนกระทั่งคุณสมมติว่าผู้เล่นพบเพียง สามร้อย การเดินที่ถูกต้องตามกฎหมายต่อตา ซึ่งเป็นเศษเสี้ยวของจำนวนที่แท้จริง และแม้จะเดินไปแล้วยี่สิบตา 1099. ยังคงมากกว่าหมากรุกถึงสี่สิบอันดับขนาด (orders of magnitude) ข้อสรุปนี้ยังคงอยู่รอดภายใต้สมมติฐานเชิงลบทุกประการที่คุณจะมอบให้1
ตัวเลขของหมากรุกเป็นผลผลิตจากการคำนวณอย่างละเอียดถี่ถ้วนตลอดหลายทศวรรษ; พวกมัน เป็นที่ทราบกันดี. ตัวเลขของ WordChess เป็นค่าประมาณที่ระมัดระวัง ซึ่งได้มาจากพารามิเตอร์จริงของมัน ได้แก่ กระดานขนาด 25×25 พจนานุกรมที่มีคำ 148,941 คำ และชุดตัวอักษรเต็ม (full-pool rack) และพวกมันมีช่วงความคลาดเคลื่อนที่กว้าง สิ่งที่ไม่เป็นที่สงสัยคือทิศทางและขนาดของช่องว่าง สมมติฐานทุกข้อในบทความนี้ถูกเลือกให้มีความอนุรักษ์นิยม และช่องว่างยังคงมหาศาล
หมากรุกจำกัดคุณ: ม้าเดินแบบม้า ปี้เดินทีละหนึ่งช่อง และตัวเลือกของคุณ แม้จะอุดมสมบูรณ์ แต่ก็จำกัดและคุ้นเคย WordChess มอบภาษาทั้งภาษาและกระดานทั้งกระดานให้คุณ แล้วถามว่าคุณจะเลือกอะไร นั่นคือข้อตกลงที่การออกแบบนี้ทำ และนั่นคือเหตุผลที่ตารางที่เป็นมิตรซ่อนมหาสมุทรเชิงการจัด (combinatorial ocean) ไว้
ทั้งหมดนี้ไม่ได้ทำให้ WordChess เล่น ได้ดีพื้นที่ค้นหาที่ใหญ่กว่าไม่ได้เท่ากับกลยุทธ์ที่ลึกซึ้งกว่า และอัจฉริยภาพของหมากรุกคือมันดึงความหมายออกมาจากกิ่งก้านที่แคบของมันได้มากเพียงใด แต่ใครก็ตามที่จินตนาการว่าเกมคำเป็นตัวเลือกที่เบาบางกว่า มีคณิตศาสตร์กลับหัวกลับหางอย่างแม่นยำ สำหรับยี่สิบตาแรก WordChess ทำให้เกมอันยิ่งใหญ่ของกษัตริย์ดูเล็กจิ๋วเกือบจะ
วิธีการ "20 เดิน" หมายถึง 20 เดินต่อผู้เล่นแต่ละฝ่าย หรือ 40 ครึ่งเดิน ตามธรรมเนียมหมากรุก หมากรุก: จำนวนเกม ≈ b40 โดย b ≈ 30–35 → ~1060. WordChess: การแตกแขนงของการเปิดประเมินจาก (คำที่เล่นได้ซึ่งผ่านตรงกลางได้) × (ตำแหน่งต่อคำ) ≈ 106 ต่อฝ่าย; รอบหลัง ๆ ถือไว้ที่ 10 อย่างระมัดระวัง3–104 → b40 ≈ 10120–10160. ค่าต่ำสุด 1099 ใช้ b = 300. เหล่านี้เป็นค่าประมาณ ไม่ใช่การพิสูจน์; ดู "หมายเหตุเกี่ยวกับความแน่นอน"